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引言1

第1章 复数与复变函数3

1.1 复数3

1.1.1 复数的概念3

1.1.2 复数的代数运算3

1.1.3 复数的表示法4

1.1.4 共轭复数与复数的模5

1.1.5 复数的n次方根10

1.1.6 复球面（无穷远点）11

习题1.113

1.2 复平面上的点集14

1.2.1 平面点集的初步概念14

1.2.2 区域与Jordan曲线15

习题1.217

1.3 复变函数18

1.3.1 复变函数的概念18

1.3.2 复变函数的极限与连续性20

习题1.324

小结24

总习题125

第2章 解析函数26

2.1 解析函数的概念26

2.1.1 复变函数的导数与微分26

2.1.2 解析函数的概念与性质28

习题2.129

2.2 函数解析的充要条件30

习题2.233

2.3 初等函数34

2.3.1 指数函数、三角函数和双曲函数34

2.3.2 对数函数36

2.3.3 幂函数37

2.3.4 反三角函数与反双曲函数38

习题2.339

小结39

总习题239

第3章 复变函数的积分41

3.1 复变函数积分的概念及性质41

3.1.1 复变函数积分的概念41

3.1.2 复变函数积分存在的条件及计算方法42

3.1.3 复变函数积分的基本性质44

习题3.146

3.2 柯西（Cauchy）积分定理及应用46

3.2.1 柯西积分定理47

3.2.2 解析函数的原函数与不定积分47

3.2.3 闭路变形原理与复合闭路定理49

习题3.252

3.3 柯西积分公式与解析函数的高阶导数52

3.3.1 柯西积分公式与均值定理52

3.3.2 解析函数的无穷可微性与高阶导数54

习题3.356

3.4 解析函数与调和函数的关系56

习题3.459

小结59

总习题360

第4章 复级数62

4.1 复数项级数62

4.1.1 复数列的极限62

4.1.2 复数项级数的概念与审敛性62

习题4.164

4.2 幂级数64

4.2.1 复变函数项级数的概念64

4.2.2 幂级数的概念与收敛性65

4.2.3 幂级数的运算与性质68

习题4.270

4.3 泰勒（Taylor）级数70

4.3.1 解析函数的泰勒展开定理71

4.3.2 函数的泰勒级数展开法72

习题4.375

4.4 洛朗（Laurent）级数75

4.4.1 双边幂级数75

4.4.2 洛朗级数展开定理76

4.4.3 函数的洛朗级数展开法79

习题4.481

小结81

总习题481

第5章 留数及其应用83

5.1 函数的孤立奇点83

5.1.1 孤立奇点83

5.1.2 函数的零点与极点的关系87

5.1.3 函数在无穷远点的性态89

习题5.191

5.2 留数91

5.2.1 留数的定义和计算91

5.2.2 留数定理95

5.2.3 函数在无穷远点的留数96

习题5.298

5.3 留数在定积分计算中的应用98

5.3.1 形如？R（cosθ，sinθ）dθ的积分99

5.3.2 形如？R（x）dx的积分100

5.3.3 形如？R（x）eiax dx（a＞0）的积分101

5.3.4 被积函数在实轴上有孤立奇点的积分102

习题5.3104

5.4 辐角原理及其应用104

5.4.1 对数留数104

5.4.2 辐角原理106

5.4.3 儒歇定理108

习题5.4108

小结109

总习题5110

第6章 保形映射111

6.1 保形映射的概念111

6.1.1 导数的几何意义111

6.1.2 保形映射的概念113

习题6.1114

6.2 分式线性映射114

6.2.1 分式线性映射的三种特殊形式115

6.2.2 分式线性映射的性质116

6.2.3 唯一决定分式线性映射的条件120

6.2.4 两个典型区域的分式线性映射120

习题6.2123

6.3 几个初等函数所构成的映射123

6.3.1 幂函数与根式函数123

6.3.2 指数函数与对数函数125

6.3.3 复合映射举例126

习题6.3127

小结127

总习题6128

第7章 傅里叶变换130

7.1 傅里叶（Fourier）积分定理130

7.1.1 积分变换的定义130

7.1.2 傅里叶积分定理131

习题7.1135

7.2 傅里叶变换及逆变换135

7.2.1 傅里叶变换及逆变换的定义135

7.2.2 傅里叶变换举例136

习题7.2136

7.3 广义傅里叶变换137

7.3.1 狄克拉δ-函数的性质137

7.3.2 广义傅里叶变换140

习题7.3142

7.4 傅里叶变换的性质142

7.4.1 傅里叶变换的基本性质142

7.4.2 傅里叶变换的卷积性质144

习题7.4145

7.5 傅里叶变换的应用145

7.5.1 傅里叶变换在求常系数常微分方程的应用146

7.5.2 傅里叶变换对某些积分方程的应用146

习题7.5147

小结147

总习题7149

第8章 拉普拉斯变换150

8.1 拉普拉斯（Laplace）变换的定义及存在性定理150

8.1.1 拉普拉斯变换的定义150

8.1.2 拉普拉斯变换的存在性定理151

习题8.1152

8.2 拉普拉斯变换的性质153

8.2.1 拉普拉斯变换的基本性质153

8.2.2 初值及终值定理156

习题8.2157

8.3 卷积性质及卷积定理157

8.3.1 卷积性质157

8.3.2 卷积定理158

习题8.3159

8.4 拉普拉斯逆变换159

8.4.1 反演公式159

8.4.2 求拉普拉斯逆变换161

习题8.4163

8.5 拉普拉斯变换的应用163

8.5.1 利用拉普拉斯变换求常微分方程和积分方程的解163

8.5.2 利用拉普拉斯变换求常微分方程组的解165

习题8.5167

小结167

总习题8168

部分习题参考答案170

参考文献182